Los repunos / 11-11-11

Josep M. Albaigès, nos envió este artículo sobre la coincidencia de los unos en la fecha de hoy.

Los repunos

En el día de mañana, 11 de noviembre de 2011, a las 11 horas, 11 minutos y 11 segundos se producirá una “coincidencia estelar” de unos (podríamos llamarla “una atilada”, en recuerdo del rey de la famosa tribu bárbara).
Esto me lleva a acordarme de los números repunos, llamados así por constar solamente de unos.
Pueden establecerse unas interesantes reglas sobre ellos. La primera, es que todos los de un número par de unos son compuestos, salvo el 11. La causa está clara: el criterio de divisibilidad por 11 consiste en sumar las cifras de orden par y las de orden impar, y ver si la diferencia entre ambas sumas es 0 u 11. Esto se dará siempre en todos los repunos de orden par, salvo, naturalmente, el propio 11, que es primo.
¿Y los de orden impar? Sorprendentemente, la “gran mayoría” son también compuestos. La descomposición en factores primos de algunos se caracteriza por desarrollos bastante bizarros. Veamos unos ejemplos:

R3 = 111 = 3·37
R6 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 (mañana)
R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901 (mañana, con horas, minutos y segundos)
R13 = 53 · 79 · 265371653
R14 = 11 · 239 · 4649 · 909091
R15 = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161
R16 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
R17 = 2071723 · 5363222357
R35 = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 10000001000000100000010000001

Lo curioso es que esta última factorización no depende de la base numérica en que el repuno de orden 35 esté expresado.
Otra ley: sólo pueden ser primos los repunos que constan de un número primo de unos (es condición necesaria pero no suficiente).
Como hemos dicho, los repunos primos escasean mucho, tanto más cuanto mayor es el número. Se ha establecido la primalidad de Rn para n = 2, 19, 23, 317, 1031… Probablemente son primos R49081 and R86453. Lo es R49081, lo es probablemente that R109297, y parece que no hay más entre R86453 y R200000. A partir de aquí el campo es nebuloso.
¿Algún miembro del CPI se anima a seguir investigando?

Josep M. Albaigès
Barcelona, 10 de noviembre de 2011